Question

【題目】已知函數在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）當時，恒成立，求整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）2

【解析】

（1）先求導，將代入導函數得切線斜率，將代入原函數得切點縱坐標，再運用點斜式求出切線方程；

（2）法一：可知，先分離參數，構造新函數和，求出單調性，通過求出的最值，便得到的最大值.

法二：先通過構造新函數，求出單調區(qū)間，再用分離參數，利用基本不等式求出的最大值.

（1）∵，在處的切線方程為

∴∴

解得

（2）解法1：∵，由

∴

令，則

令，則

在上單調遞增，

∴，使得，即

∴

在上遞減，在上遞增

，∵∴

∴

∵，∴整數的最大值為2

解法2：令

顯然在上遞增

當時，在上遞增，，合題意

當時，，則，即

在上遞減，在上遞增

即，而恒成立

∴

∵，，∴.又∵.

若，，，使得，不合題意舍去.

若.

，在上遞減，在上遞增

∴，合題意

∴整數的最大值為2.