Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，且BA₁⊥AC₁．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求多面體B₁C₁ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知，要證AC₁⊥平面A₁BC，可以證明AC₁ 與平面A₁BC 內(nèi)兩條相交直線BC，BA₁ 都垂直即可，由A₁D⊥平面ABC，證出BC⊥平面A₁C₁CA，再證出BC⊥AC₁即可證明．
（2）多面體B₁C₁ABC的體積V多面體B4C1ABC=VA1B1C1-ABC-VA-A1B1C1=

2

3

VA1B1C1-ABC=

2

3

×

1

2

×4×

3

=

4 3

3

，轉(zhuǎn)化求解．

解答：（1）證明：

A₁在底面ABC上的射影在AC上⇒A₁D⊥平面ABC⇒A₁D⊥BC，∵AC⊥BC，
∴BC⊥平面A₁C₁CA…（3分）AC₁?平面A₁C₁CA，∴BC⊥AC₁，BA₁⊥AC₁，A₁B∩BC=B，∴AC₁⊥平面A₁BC…（7分）
（2）由（1）可知：A₁C⊥AC₁⇒ACC₁A₁是棱形；…（9分）
∵AC=2，點D為中點，AD⊥BC，∴△A₁AC為正三角形，∴AD=

3

…（11分）
∴V多面體B1C1ABC=VA1B1C1-ABC-VA-A1B1C1=

2

3

VA1B1C1-ABC=

2

3

×

1

2

×4×

3

=

4 3

3

…（13分）

點評：本題考查線線垂直、線面垂直的定義、性質(zhì)、判定．空間集合體的體積計算，考查空間想象、論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．