Question

如圖所示，設(shè)F是拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作斜率分別為k₁、k₂的兩條直線l₁、l₂，且k₁•k₂=-1，l₁與E相交于點(diǎn)A、B，l₂與E相交于點(diǎn)C，D．已知△AFO外接圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求拋物線E的方程；
（2）若

AF

•

FB

+

DF

•

FC

=64，求直線l₁、l₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定△AFO外接圓的圓心在線段OF的垂直平分線y=

p

4

上，求出p，即可求拋物線E的方程；
（2）利用

AF

•

FB

+

DF

•

FC

=64，結(jié)合韋達(dá)定理，基本不等式，即可求直線l₁、l₂的方程．

解答： 解：（1）由題意，F(xiàn)（0，

p

2

），△AFO外接圓的圓心在線段OF的垂直平分線y=

p

4

上，
∴

p

4

+

p

2

=3，∴p=4．
∴拋物線E的方程是x²=8y；
（2）設(shè)直線l₁的方程y=k₁x+2，代入拋物線方程，得y²-（8k₁²+4）y+4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8k₁²+4，y₁y₂=4
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），同理可得y₃+y₄=

8

k12

+4，y₃y₄=4
∴

AF

•

FB

+

DF

•

FC

=32+16（k₁²+

1

k12

）≥64，
當(dāng)且僅當(dāng)k₁²=

1

k12

，即k₁=±1時(shí)取等號(hào)，
∴直線l₁、l₂的方程為y=x+2或y=-x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．