已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+1)x+1,g(x)=ex,其中a∈R,集合A={x||x-t|<數(shù)學(xué)公式}.
(1)當(dāng)a=-2時(shí),記集合B={x|f(x)>0},若A⊆B,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)若F(x)=[f(x)+a-1]•g(x),當(dāng)a≠0時(shí),求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

解:(1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=-2x2+x+1,B={x|-2x2+x+1>0}={x|-<x<1},
A={x||x-t|<}={x|t-<x<+t},
因?yàn)锳⊆B,所以,解得0≤t≤,
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是[0,].
(2)F(x)=[ax2-(a+1)x+a]ex
F′(x)=[ax2+(a-1)x-1]ex=a(x-)(x+1)ex,
令F′(x)=0,解得x=,或x=-1.
以下分四種情況討論:
(。┊(dāng)a>0時(shí),則-1<.當(dāng)x變化時(shí),F(xiàn)′(x),F(xiàn)(x)的變化情況如下表:
x(-∞,-1)-1(-1,,+∞)
F′(x)+0-0+
F(x)?↗極大值↘?極小值?↗
所以函數(shù)F(x)在(-∞,-1),(,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(-1,)內(nèi)是減函數(shù).
函數(shù)F(x)在x=-1處取得極大值F(-1),且F(-1)=(3a+1)e-1;函數(shù)F(x)在x=處取得極小值F(),且F()=(a-1)e</sup>f(1,a)<sup>
(ⅱ)當(dāng)-1<a<0時(shí),則<-1,當(dāng)x變化時(shí),F(xiàn)′(x),F(xiàn)(x)的變化情況如下表:
x(-∞,,-1)-1(-1,+∞)
F′(x)-0+0-
F(x)?↘極小值?↗極大值?↘
所以函數(shù)F(x)在(-∞,),(-1,+∞)內(nèi)是減函數(shù),在(,-1)內(nèi)是增函數(shù).
函數(shù)F(x)在x=-1處取得極大值F(-1),且F(-1)=(3a+1)e-1;函數(shù)F(x)在x=處取得極小值F(),且F()=(a-1)e</sup>f(1,a)<sup>
(ⅲ)當(dāng)a=-1時(shí),F(xiàn)′(x)<0,所以函數(shù)F(x)在R上是減函數(shù),無極值.
所以函數(shù)F(x)在(-∞,-1),(,+∞)內(nèi)是減函數(shù),在(-1,)內(nèi)是增函數(shù).
函數(shù)F(x)在x=-1處取得極小值F(-1),且F(-1)=(3a+1)e-1;函數(shù)F(x)在x=處取得極大值F(),且F()=(a-1)e
分析:(1)當(dāng)a=-2時(shí),f(x)=-2x2+x+1,先化簡(jiǎn)集合B和A,因?yàn)锳⊆B,得出關(guān)于t的不等關(guān)系:,解得實(shí)數(shù)t的取值范圍即可;
(2)先求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),求出f′(x)=0的值,再討論滿足f′(x)=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況,從而的函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的極值,fˊ(x)>0的區(qū)間是增區(qū)間,fˊ(x)<0的區(qū)間是減區(qū)間.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用、函數(shù)的極值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點(diǎn),則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),解不等式f(
2x
)>3

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已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
 

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