Question

 設函數（），．

(1) 若函數圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；

(2) 關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；

(3) 對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”．設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）因為，所以，令

得：，此時，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分

則點到直線的距離為，

即，解之得．　　　　　　　　　　　…………4分

（2）解法一：不等式的解集中的整數恰有3個，

等價于恰有三個整數解，故，　　　　　　…………6分

令，由且，

所以函數的一個零點在區(qū)間，

則另一個零點一定在區(qū)間，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分

故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………10分

解法二：恰有三個整數解，故，即，…………6分

，

所以，又因為，　　　　　　　　　　　…………8分

所以，解之得．　　　　　　　　　　　…………10分

（3）設，則．

所以當時，；當時，．

因此時，取得最小值，

則與的圖象在處有公共點．　　　　　　　…………12分

設與存在 “分界線”，方程為，

即，

由在恒成立，則在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………14分

下面證明恒成立．

 設，則．

 所以當時，；當時，．

因此時取得最大值，則成立．

故所求“分界線”方程為：．　　　　　　　　　　　　…………16分