Question

已知橢圓的離心率．直線x=t（t＞0）與曲線E交于
不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的離心率，知．由此能求出橢圓E的方程．
（2）依題意，圓心為C（t，0），（0＜t＜2）．由得．所以圓C的半徑為．由圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，知，所以弦長，由此能求出ABC的面積的最大值．
解答：（1）解：∵橢圓的離心率，
∴．（2分）
解得a=2．
∴橢圓E的方程為．（4分）
（2）解：依題意，圓心為C（t，0），（0＜t＜2）．
由得．
∴圓C的半徑為．（6分）
∵圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，
∴，即．
∴弦長．（8分）
∴△ABC的面積（9分）==．（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
∴△ABC的面積的最大值為．（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和三解開有的面積的最大值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．