Question

（2008•揚州二模）已知二次函數(shù)f（x）=x²-2x+6，設向量a=（sinx，2），b=（2sinx，

1

2

），c=（cos2x，1），d=（1，2）．當x∈[0，π]時，不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集為

（

π

4

，

3π

4

）

．

Answer 1

分析：由已知中二次函數(shù)f（x）=x²-2x+6，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以分析出f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，由向量數(shù)量積公式，及已經(jīng)中各向量的坐標，我們易判斷出

a

•

b

≥1，

c

•

d

≥1，進而將f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化為

a

•

b

＞

c

•

d

，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)及x∈[0，π]，可求出不等式的解集．

解答：解：∵二次函數(shù)f（x）=x²-2x+6，
∴f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，
∴f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
又∵

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos²x+1≥1，
則f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化為

a

•

b

＞

c

•

d

，
即2sin²x+1＞2cos²x+1，
又∵x∈[0，π]，
∴x∈（

π

4

，

3π

4

）．
故不等式的解集為（

π

4

，

3π

4

）．
故答案為：（

π

4

，

3π

4

）．

點評：本題考查的知識點是一元二次不等式的應用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析出f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增進而將f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）可化為

a

•

b

＞

c

•

d

是解答本題的關(guān)鍵．