Question

已知x＞0，函數(shù)f（x）=-x²+2x+t-1，g（x）=x+

1

x

．
（1）求過點(diǎn)（1，f（1））與y=f（x）圖象相切的直線方程
（2）若g（x）=m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）確定實(shí)數(shù)t的取值范圍，使得g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出切線的斜率f^′（1），再利用點(diǎn)斜式即可得到切線的方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)得到g（x）的極小值即最小值，g（x）=m有零點(diǎn)?m≥g（x）_min；
（3）令h（x）=g（x）-f（x），利用導(dǎo)數(shù)得出其最小值，g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根?h（x）_min＜0．

解答：解：（1）∵f^′（x）=-2x+2，∴f^′（1）=0．
而f（1）=-1+2+t-1=t，
∴過點(diǎn)（1，f（1））與y=f（x）圖象相切的直線方程是y-t=0．
（2）由g′(x)=1-

1

x2

=

(x+1)(x-1)

x

，x＞0，令g^′（x）=0，解得x=1．
解g^′（x）＞0，得x＞1，可得g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；解g^′（x）＜0，得0＜x＜1，可得g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
因此當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極小值即最小值，g（1）=2，
∵g（x）=m有零點(diǎn)，∴m的取值范圍是[2，+∞）；
（3）令h（x）=g（x）-f（x）=x+

1

x

+x2-2x-t+1=x2-x+

1

x

-t+1（x＞0），
則h′(x)=1-

1

x2

+2x-2=

2x3-x2-1

x2

=

(x-1)(2x2+x+1)

x2

，
令h^′（x）=0，解得x=1．
解h^′（x）＞0，得x＞1，可得h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；解h^′（x）＜0，得0＜x＜1，可得h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
因此當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值，h（1）=2-t，
又x→0⁺時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞．
因此當(dāng)h（1）＜0，即t＞2時(shí)，h（x）在x＞0時(shí)與x軸由兩個(gè)交點(diǎn)，即g（x）-f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．