Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C：(.

（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率k的取值范圍;

（3）如圖，過原點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線與橢圓()相交于四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到四邊形一邊的距離為，試求時(shí)滿足的條件.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1） ……2分

（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l：

由得.

,……4分

（1）

又

由 ∴所以（2）由（1）（2）得�！�…6分

（3）由橢圓的對(duì)稱性可知PQSR是菱形，原點(diǎn)O到各邊的距離相等。

當(dāng)P在y軸上，Q在x軸上時(shí)，直線PQ的方程為，由d=1得，……

當(dāng)P不在y軸上時(shí)，設(shè)直線PS的斜率為k，，則直線RQ的斜率為，

由，得……(1)，同理……(2) ……8分

在Rt△OPQ中，由，即

所以，化簡得， ，即。

綜上，d=1時(shí)a,b滿足條件……12分

考點(diǎn)：橢圓方程及性質(zhì)，直線與橢圓相交問題

點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理設(shè)而不求是常用的思路，第二問中將夾角是銳角時(shí)轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積小于零，從而可用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，