精英家教網(wǎng)P是平面ABCD外的點，四邊形ABCD是平行四邊形，
AB
=（2，-1，-4），
AD
=（4，2，0），
AP
=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）對于向量
a
=（x1，y1z1），
b
=(x2y2z2)，
c
=(x3y3z3)，定義一種運算：(
a
×
b
)•
c
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，試計算(
AB
×
AD
)-
AP
的絕對值；說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運算(
AB
×
AD
)-
AP
的絕對值的幾何意義．
分析：（1）證明
AP
與平面ABCD內(nèi)的兩個不共線的向量垂直，即證明
AP
與此平面內(nèi)的兩個不共線的向量的數(shù)量積等于0．
（2）根據(jù)體題中定義的運算法則，化簡 |(
AB
×
AD
)•
AP
| 的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)此值正好等于以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積．
解答：解：（1）
AP
•
AB
=(2，-1，-4)•(-1，2，-1)=-2+(-2)+4=0，∴
AP
⊥
AB
，即AP⊥AB．
AP
•
AD
=(-1，2，-1)•(4，2，0)=-4+4+0=0，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2）|(
AB
×
AD
)•
AP
|=48，又cos?
AB
•
AD
＞=
3
105
，
V=
1
3
|
AB
|•|
AD
|•sin?
AB
•
AD
＞•|
AP
|=16
猜測：|(
AB
×
AD
)•
AP
|在幾何上可表示以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積（或以AB，AD，AP為棱的四棱柱的體積）．
點評：本題考查直線和平面垂直的方法，以及利用題中的新定義的運算法則計算|(
AB
×
AD
)•
AP
|的結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

9、如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外的一點，則在四棱錐P-ABCD中，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH．
求證：AP∥GH．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年浙江省杭州十四中高二（上）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

P是平面ABCD外的點，四邊形ABCD是平行四邊形，=（2，-1，-4），=（4，2，0），=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）對于向量=（x1，y1z1），，定義一種運算：，試計算的絕對值；說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運算的絕對值的幾何意義．

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科目：高中數(shù)學 來源：金版人教A版數(shù)學理科：立體幾何初步6（必修2、選修2-1）（解析版） 題型：解答題

P是平面ABCD外的點，四邊形ABCD是平行四邊形，=（2，-1，-4），=（4，2，0），=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）對于向量=（x1，y1z1），，定義一種運算：，試計算的絕對值；說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運算的絕對值的幾何意義．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高考數(shù)學復習：7.4 直線、平面平行的判定和性質(zhì)（1）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外的一點，則在四棱錐P-ABCD中，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH．求證：AP∥GH．

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