4.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,Q是PA的中點.
(1)證明:PC∥平面BDQ;
(2)求點A到面BDQ的距離.

分析 (1)連結(jié)AC,交BD于O,證明OQ∥PC,然后證明PC∥平面BDQ.
(2)求出三棱錐Q-BAD的高OA,求出底面積,利用棱柱的體積求解即可.

解答 解:(1)證明:連結(jié)AC,交BD于O,連接OQ,
因為底面ABCD為正方形,所以O為AC的中點,
又因為Q是PA的中點,所以OQ∥PC,
∵OQ?平面BDQ,PC?平面BDQ,∴PC∥平面BDQ.
(2)因為側(cè)棱PA⊥底面ABCD,
所以三棱錐Q-BAD的高為$QA=\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}×2=1$,
所以底面積為${S_{△BAD}}=\frac{1}{2}×2×2=2$,
∴${V_{Q-BAD}}=\frac{1}{3}×{S_{△BAD}}×QA=\frac{1}{3}×2×1=\frac{2}{3}$.OQ=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$,
由等體積法VQ-BAD=VA-BDQ,得$\frac{1}{3}$hS△BDQ=$\frac{1}{3}h$×$\frac{1}{2}$BD•OQ=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}h×2\sqrt{2}×\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}h$=$\frac{2}{3}$.
h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及幾何體的體積的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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