Question

已知數(shù)列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a₁³＋a₂³＋…＋a_n³＝(a₁＋a₂＋…＋a_n)²．

(1)求a₁，a₂的值；

(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；

(3)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，不等式S_n＞log_a(1－a)對任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：當(dāng)時(shí)，有， 　　由于，所以． 　　當(dāng)時(shí)，有， 　　將代入上式，由于，所以． 　　(2)解：由于，① 　　則有．② 　　②－①，得， 　　由于，所以．③ 　　同樣有，④ 　�、郏�，得． 　　所以． 　　由于，即當(dāng)時(shí)都有，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． 　　故． 　　(3)解：由(2)知，則． 　　所以 　　 　　． 　　∵，∴數(shù)列單調(diào)遞增． 　　所以． 　　要使不等式對任意正整數(shù)恒成立，只要． 　　∵，∴． 　　∴，即． 　　所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

提示：

本小題主要考查數(shù)列通項(xiàng)、求和與不等式等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識