Question

已知橢圓C的焦點在x軸上，O為坐標原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點．若橢圓的長軸長是6，且cos∠OFA=

2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求點R（0，1）與橢圓C上的點N之間的最大距離；
（Ⅲ）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點P（-3，0），交y軸于點M．若

MQ

=2

QP

，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）依題意，根據(jù)cos∠OFA=

2

3

，求出c，進而可求b，則橢圓的方程可得；
（Ⅱ）用兩點間的距離公式，結(jié)合配方法，即可求出點R（0，1）與橢圓C上的點N之間的最大距離；
（Ⅲ）設(shè)出直線l的方程，則M的坐標可得，設(shè)出Q的坐標，根據(jù)

MQ

=2

QP

，求得x₁和y₁代入橢圓方程求得k．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，點A是橢圓C短軸的端點．
設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c（c＞0）
在Rt△OFA中，cos∠OFA=

2

3

，
∵a=3，∴c=2，
∴b²=5
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)N（x₀，y₀），
∵N在橢圓上，∴

x02

9

+

y02

5

=1，
∴x02=9-

9

5

y02，
∴|RN|2=x02+(y0-1)2=-

4

5

y02-2y0+10…（8分）
∵y0∈[-

5

，

5

]
∴當y0=-

5

4

時，|RN|max=

3 5

2

．…（9分）
（Ⅲ）根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=k（x+3），點M（0，3k）
設(shè)Q(x1，y1)，由于

MQ

=2

QP

∴（x₁，y₁-3k）=2（-3-x₁，-y₁）
解得：x₁=-2，y₁=k…（12分）
又Q在橢圓上，得

(-2)2

9

+

k2

5

=1，解得：k=±

5

3

…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．