Question

已知定點(diǎn)A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．動點(diǎn)P滿足

AP

•

BP

=k|

PC

|²．（其中k為常數(shù)）求動點(diǎn)P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：根據(jù)題意，給出

AP

=（x，y-1），

BP

=（x，y+1），

PC

=（1-x，-y），由

AP

•

BP

=k|

PC

|²建立關(guān)于x、y的方程，化簡得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0．根據(jù)k是否等于1討論，可得方程所表示的曲線類型．

解答： 解：（1）設(shè)動點(diǎn)P（x，y），可得

AP

=（x，y-1），

BP

=（x，y+1），

PC

=（1-x，-y），
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|²，
∴x²+y²-1=k（x-1）²+ky²
化簡得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0
①當(dāng)k=1時，方程為x=1，表示直線；…5分
②當(dāng)k≠1時，方程為(x-

k

k-1

)2+y2=(

1

k-1

)2，
方程表示（

k

k-1

，0）為圓心、

1

|k-1|

為半徑的圓．

點(diǎn)評：本題給出動點(diǎn)P滿足的條件，求P的軌跡方程，并求向量模的取值范圍．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和動點(diǎn)軌跡方程求法等知識，屬于中檔題．