Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁＝λ，a_n+1＝其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．

(Ⅰ)對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；

(Ⅱ)試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

(Ⅲ)設(shè)0＜a＜b，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使｛an｝是等比數(shù)列，則有a22＝a1a3，即 　　矛盾． 　　所以｛an｝不是等比數(shù)列． 　　(Ⅱ)解：因為bn+1＝(－1)n+1[an+1－3(n－1)＋21]＝(－1)n+1(an－2n＋14) 　�。�(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn 　　又b1x－(λ＋18)，所以 　　當(dāng)λ＝－18，bn＝0(n∈N+)，此時｛bn｝不是等比數(shù)列： 　　當(dāng)λ≠－18時，b1＝(λ＋18)≠0，由上可知bn≠0，∴(n∈N+)． 　　故當(dāng)λ≠－18時，數(shù)列｛bn｝是以－(λ＋18)為首項，－為公比的等比數(shù)列． 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知，當(dāng)λ＝－18，bn＝0，Sn＝0，不滿足題目要求． 　　∴λ≠－18，故知bn＝－(λ＋18)·(－)n－1，于是可得 　　Sn＝－ 　　要使a＜Sn＜b對任意正整數(shù)n成立， 　　即a＜－(λ＋18)·[1－(－)n]〈b(n∈N+) 　　　�、� 　　當(dāng)n為正奇數(shù)時，1＜f(n) 　　∴f(n)的最大值為f(1)＝，f(n)的最小值為f(2)＝， 　　于是，由①式得a＜－(λ＋18)，＜ 　　當(dāng)a＜b3a時，由－b－18＝－3a－18，不存在實數(shù)滿足題目要求； 　　當(dāng)b＞3a存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范圍是(－b－18，－3a－18)． 　　本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認(rèn)證能力，(滿分14分)