Question

3．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosA=（2c+a）cos（C+A）•
（I）求角B的大��；
（ II）若b=4，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式化簡已知可得sinC=-2sinCcosB，結(jié)合sinC＞0，可求cosB的值，結(jié)合B的范圍即可得解B的值．
（ II）由三角形面積公式可求ac的值，由余弦定理即可得解a+c的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）由條件，得bcosA=（2c+a）cos（π-B）=-（2c+a）cosB，…（1分）
由正弦定理，得sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB，…（3分）
即sinAcosB+cosAsinB=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB．…（4分）
∵sin（A+B）=sin（π-C）=sinC＞0，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$…（5分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{2π}{3}•$…（6分）
（ II）由（I）知$B=\frac{2π}{3}$，則${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsin\frac{2π}{3}=\sqrt{3}$．
得ac=4．…（8分）
由余弦定理，得${b^2}={a^2}+{c^2}-2accos\frac{2π}{3}={a^2}+{c^2}+ac={（a+c）^2}-ac={（a+c）^2}-4$．…（10分）
∵b=4，
∴（a+c）²=20．故$a+c=2\sqrt{5}$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．