Question

已知直線l與函數(shù)f（x）=lnx的圖象相切于點（1，0），且l與函數(shù)（m＜0）的圖象也相切．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）當0＜a＜1時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率等于f'（1），從而可得到切線方程，最后切線方程與函數(shù)g（x）聯(lián)立可求出m的值．
（2）根據(jù)（1）中m的值可先確定函數(shù)g（x）的解析式，然后對其求導(dǎo)代入函數(shù)h（x）中確定其解析式，再對函數(shù)h（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性進而可確定最大值．
（3）先對f（1+a）-f（2）進行整理變形為，再根據(jù)（2）可得到當-1＜x＜0時h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，可得證．
解答：解：（Ⅰ）∵，直線l是函數(shù)f（x）=lnx的圖象在點（1，0）處的切線，
∴其斜率為k=f′（1）=1
∴直線l的方程為y=x-1．
又因為直線l與g（x）的圖象相切
∴，
得△=（m-1）²-9=0⇒m=-2（m=4不合題意，舍去）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴．（x＞-1）
當-1＜x＜0時，h′（x）＞0；當x＞0時，h′（x）＜0．
于是，h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
所以，當x=0時，h（x）取得最大值h（0）=2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：當-1＜x＜0時，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
當0＜a＜1時，
∴．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負之間的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的問題．