Question

已知定義域為R的函數是奇函數．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，
即
又由f（1）=-f（-1）知．
所以a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
又因為f（x）是奇函數，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因為f（x）為減函數，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式．
所以k的取值范圍是k＜-．
分析：（Ⅰ）利用奇函數定義f（x）=-f（x）中的特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先確定函數f（x）的單調性，然后結合奇函數的性質把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．
點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合應用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．