Question

已知函數f（x）=+lnx（a≠0）
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：ln2＜＜ln3（n∈N^*）

Answer 1

解：（1）因為函數 ，其定義域為（0，+∞）
所以f′（x）=[]′+（lnx）′=
即
當a＜0時，增區(qū)間為﹙0，+∞﹚；
當a＞0時，減區(qū)間為﹙0，），增區(qū)間為（，+∞）
（2）1°當a＜0時，函數增區(qū)間為﹙0，+∞﹚，此時不滿足f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
2°當a＞0時，函數減區(qū)間為﹙0，），增區(qū)間為（，+∞），
要使f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只需f（）≥0即可，
即1--lna≥0，
令g（a）=1--lna （a＞0）
則g′（a）=-==0，
解得a=1，因此g（a）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
所以當a=1時，g（a）取最大值0，
故f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
當且僅當a=1時成立，即a=1；
（3）由（2）知，令時，＞0（k∈N^*）
∴（k∈N^*）
∴
令，則＞0（k∈N^*）
∴（k∈N^*）
∴
綜上成立．
分析：（1）直接利用導數的運算法則即可求出f′（x），對a進行討論，即可求得函數的單調區(qū)間；
（2）根據（1）函數的單調性，對a進行討論，轉化為求函數的最小值，對函數的最小值進行求導，即可求得a的取值范圍；
（3）根據（2）的結果，a=′1時，f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分別令，即可證得結果．
點評：本題考查函數性質和導數的綜合應用，本題解題的關鍵是利用導數方法求函數的最值，利用函數思想時也要用導數來求最值，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬難題．