解:(1)因為函數
,其定義域為(0,+∞)
所以f′(x)=[
]′+(lnx)′=
即
當a<0時,增區(qū)間為﹙0,+∞﹚;
當a>0時,減區(qū)間為﹙0,
),增區(qū)間為(
,+∞)
(2)1°當a<0時,函數增區(qū)間為﹙0,+∞﹚,此時不滿足f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立;
2°當a>0時,函數減區(qū)間為﹙0,
),增區(qū)間為(
,+∞),
要使f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
只需f(
)≥0即可,
即1-
-lna≥0,
令g(a)=1-
-lna (a>0)
則g′(a)=
-
=
=0,
解得a=1,因此g(a)在(0,1)單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,
所以當a=1時,g(a)取最大值0,
故f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
當且僅當a=1時成立,即a=1;
(3)由(2)知,令
時,
>0(k∈N
*)
∴
(k∈N
*)
∴
令
,則
>0(k∈N
*)
∴
(k∈N
*)
∴
綜上
成立.
分析:(1)直接利用導數的運算法則即可求出f′(x),對a進行討論,即可求得函數的單調區(qū)間;
(2)根據(1)函數的單調性,對a進行討論,轉化為求函數的最小值,對函數的最小值進行求導,即可求得a的取值范圍;
(3)根據(2)的結果,a=′1時,f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,分別令
,即可證得結果.
點評:本題考查函數性質和導數的綜合應用,本題解題的關鍵是利用導數方法求函數的最值,利用函數思想時也要用導數來求最值,考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力,屬難題.