![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d60994a4e4e.png)
解:(Ⅰ)證明:在△PAD中,PA=PD,O為AD的中點(diǎn),所以PO⊥AD
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)連接BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC=2有OD∥BC
且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形,所以O(shè)B∥DC
由(Ⅰ)知PO⊥OB,∠PBC是銳角,
所以∠PBC是異面直線PB與CD所成的角
因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以O(shè)B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
在Rt△AOP中 因?yàn)锳P=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
AO=1,所以O(shè)P=1
在Rt△AOP中tan∠PBC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453953.png)
所以:異面直線PB與CD所成角的大小
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2962.png)
.
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
.
設(shè)QD=x,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453954.png)
,由(Ⅱ)得CD=OB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,
在Rt△POC中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453955.png)
,
所以PC=CD=DP,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453956.png)
,
由V
p-DQC=V
Q-PCD,得2,所以存在點(diǎn)Q滿足題意,此時(shí)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453957.png)
.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453958.png)
的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
依題意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453959.png)
.
所以異面直線PB與CD所成的角是arccos
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/670.png)
,
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
,
由(Ⅱ)知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453960.png)
.
設(shè)平面PCD的法向量為n=(x
0,y
0,z
0).
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453961.png)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453962.png)
即x
0=y
0=z
0,
取x
0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453963.png)
,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453964.png)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453965.png)
,
解y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
或y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
(舍去),
此時(shí)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453966.png)
,所以存在點(diǎn)Q滿足題意,此時(shí)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453957.png)
.
分析:法一:(Ⅰ)證明直線PO⊥平面ABCD,因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD,只需證明面PAD內(nèi)的直線PO垂直這兩個(gè)平面的交線即可即;
(Ⅱ)連接BO,說明∠PBC是異面直線PB與CD所成的角,然后解三角形,求異面直線PD與CD所成角的大小;
(Ⅲ)線段AD上存在點(diǎn)Q,設(shè)QD=x,利用等體積方法,求出比值.
法二:建立空間直角坐標(biāo)系,求出向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/453959.png)
.
利用向量數(shù)量積解答(Ⅱ);利用平面的法向量和數(shù)量積解答(Ⅲ)即可.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與平面位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí),考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.
第一問就建立坐標(biāo)系的就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.再者就是線與線所成角應(yīng)該在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/242.png)
才可