Question

13．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₄=a₅+13，且a₁，a₄，a₁₃恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，對(duì)任意n∈N⁺，$（{T_n}+\frac{3}{2}）k≥3n-9$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由S₄=a₅+13，且a₁，a₄，a₁₃恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)可得關(guān)于a₁，d的方程，解出a₁，d，利用等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果，
（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出T_n，對(duì)任意n∈N⁺，$（{T_n}+\frac{3}{2}）k≥3n-9$恒成立等價(jià)于k≥$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$恒成立，設(shè)f（n）=$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$，利用導(dǎo)數(shù)判斷數(shù)列為增數(shù)列，再用極限的定義求出答案即可．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，
∵S₄=a₅+13，
∴4a₁+6d=a₁+4d+13，
即3a₁+2d=13，
∵a₁，a₄，a₁₃恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
∴（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d），
解得a₁=3，d=2，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3+（n-1）•2=2n+1，
∴b₂=a₄=a₁+3d=3+3×2=9，b₁=a₁=3，
∴q=3，
∴b_n=3ⁿ，
（2）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∵對(duì)任意n∈N⁺，$（{T_n}+\frac{3}{2}）k≥3n-9$恒成立，
∴$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹k≥3n-9恒成立，
∴k≥$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$恒成立，
設(shè)f（n）=$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$，
∴f′（n）=$\frac{2-ln3}{{3}^{n}}$=$\frac{ln{e}^{2}-ln3}{{3}^{n}}$＞0恒成立，
∴數(shù)列f（n）=$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$為遞增數(shù)列，
∴$\underset{lim}{n→∞}$=$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$=0，
∴k≥0
故k的取值范圍為[0，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列等比的通項(xiàng)公式、求和公式，以及數(shù)列和函數(shù)特征，以及不等式恒成立的問(wèn)題，屬于中檔題