【題目】已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;
(2)求使f(x)≥3成立的x的取值集合.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x
=sin2x+cos2x+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
= sin(2x+ )+2,
∴f(x)的最小正周期為T= =π;
令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是:[ +kπ, +kπ],k∈Z;
(2)解:∵f(x)≥3,∴ sin(2x+ )+2≥3,
解得sin(2x+ )≥ ,
∴ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
解得kπ≤x≤ +kπ,k∈Z;
所求的集合為:[kπ, +kπ],k∈Z.
【解析】(1)利用三角恒等變換化簡f(x),根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;(2)利用f(x)的解析式,解三角函數(shù)不等式即可.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,g(x)=f(x)﹣a
(1)當a=2時,求函數(shù)g(x)的零點;
(2)若函數(shù)g(x)有四個零點,求a的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,記g(x)得四個零點分別為x1 , x2 , x3 , x4 , 求x1+x2+x3+x4的取值范圍.
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【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=(﹣x2+ax)ex , (x∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)函數(shù)f(x)是否為R上的單調(diào)函數(shù),若是,求出a的取值范圍;若不是,請說明理由.
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【題目】如圖:在四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,其它四個側(cè)面都是側(cè)棱長為 的等腰三角形.
(1)求二面角V﹣AB﹣C的平面角的大小;
(2)求四棱錐V﹣ABCD的體積.
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【題目】對正整數(shù)n,設曲線y=xn(1﹣x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an , 則數(shù)列 的前n項和的公式是( )
A.2n
B.2n﹣2
C.2n+1
D.2n+1﹣2
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1﹣nan(n∈N*)
(1)計算a1 , a2 , a3 , a4;
(2)猜想an的表達式,并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,設兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點,且在該點處的切線相同,則a∈(0,+∞)時,實數(shù)b的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a≥0)
(1)當a=0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求y=f(x)在區(qū)間(0,2]上的最大值.
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