Question

已知，且正整數(shù)n滿足C_n³=C_n⁵，A={0，1，2，…n}
（1）求n；
（2）若i、j∈A，是否存在j，當i≥j時，C_nⁱ≤C_n^j恒成立．若存在，求出最小的j；若不存在，試說明理由．
（3）k∈A，若f（x）的展開式有且只有三個有理項，求k．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意中C_n³=C_n⁵，結(jié)合C_n^m=C_n^n-m，
則n=8
（2）由（1）的結(jié)論，n=8，
當n=8時，C₈^m（m=0、1、2…、8）中，C₈⁴最大，
即i≥j≥4時，滿足C_nⁱ≤C_n^j恒成立，
則最小的j=4；
（3）展開式通項為=
依題意，只須8-r是k的整數(shù)倍的r有且只有三個，
分別令k=1，2，3…8，代入通項中，
檢驗得k=3或4；
故k=3或4．
分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)C_n^m=C_n^n-m，易得答案；
（2）由（1）的結(jié)論，n=8，結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得其二項式系數(shù)中最大的為C₈⁴，由題意，可得i≥j≥4，即可得答案；
（3）寫出）展開式通項，依題意，只須8-r是k的整數(shù)倍的r有且只有三個，分別令k=1，2，3…8，代入通項中，檢驗可得答案．
點評：本題考查二項式定理的應用，關(guān)鍵要靈活應用二項式系數(shù)的性質(zhì)．