Question

12．某市為了制定合理的節(jié)電方案，供電局對(duì)居民用電進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年200戶居民每戶的月均用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中m的值并估計(jì)居民月均用電量的中位數(shù)；
（Ⅱ）從樣本里月均用電量不低于700度的用戶中隨機(jī)抽取4戶，用X表示月均用電量不低于800度的用戶數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用小矩形的面積之和為1求解，
（Ⅱ）200戶居民月均用電量在[700，800）度的戶數(shù)是8，月均用電量在[800，900]度的戶數(shù)是4．
故隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）1-100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）=2m×100，
∴m=0.0015．
設(shè)中位數(shù)是x度，前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，
而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，
所以400＜x＜500，$x-400=\frac{0.5-0.48}{0.25}×100$，
故x=408，即居民月均用電量的中位數(shù)為408度．
（Ⅱ）200戶居民月均用電量在[700，800）度的戶數(shù)是8，月均用電量在[800，900]度的戶數(shù)是4．
故隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3，4，且$P（X=0）=\frac{C_8^4}{{C_{12}^4}}=\frac{70}{495}$，$P（X=1）=\frac{C_4^1•C_8^3}{{C_{12}^4}}=\frac{224}{495}$，$P（X=2）=\frac{C_4^2•C_8^2}{{C_{12}^4}}=\frac{168}{495}$，$P（X=3）=\frac{C_4^3•C_8^1}{{C_{12}^4}}=\frac{32}{495}$，$P（X=3）=\frac{C_4^4•C_8^0}{{C_{12}^4}}=\frac{1}{495}$，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{70}{495}$	$\frac{224}{495}$	$\frac{168}{495}$	$\frac{32}{495}$	$\frac{1}{495}$

故$E（X）=\frac{224+336+96+4}{495}=\frac{660}{495}=\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了統(tǒng)計(jì)，離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題．