Question

如圖，已知SA⊥Rt△ABC，BC⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，SB=2

3

，求SC與平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：計算題,作圖題,空間位置關系與距離

分析：在Rt△ABC中作CD⊥AB于點D，連結SD，可證明∠CSD為SC與平面SAB所成的角，在Rt△ABC，Rt△SBC，Rt△SDC中求邊長，從而求SC與平面SAB所成角的正弦值．

解答： 解：在Rt△ABC中作CD⊥AB于點D，連結SD，
∵SA⊥Rt△ABC，
又∵SA?面SAB，
∴面SAB⊥面ABC，
又∵面SAB∩面ABC=AB，
∴CD⊥面SAB，
∴∠CSD為SC與平面SAB所成的角，
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，
∴BC=

3

，AB=2；
∴CD=

3 ×1

2

=

3

2

，
在Rt△SBC中，
SB=2

3

，BC=

3

，
則SC=

12-3

=3，
在Rt△SDC中，
sin∠CSD=

CD

SC

=

3 2

3

=

3

6

．

點評：本題考查了學生的空間想象力及作圖能力、計算能力，屬于中檔題．