Question

（2012•安徽模擬）已知f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

（1）求f（x）的最大值，及當(dāng)取最大值時(shí)x的取值集合．
（2）在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，對(duì)定義域內(nèi)任意x，有f（x）≤f（A），若a=

3

，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，從而可求f（x）的最大值，及當(dāng)取最大值時(shí)x的取值集合；
（2）由f（x）≤f（A）可知f（A）為f（x）為最大值，結(jié)合A的范圍可求A，由

AB

•

AC

=cbcosA=

1

2

cb，結(jié)合余弦定理及基本不等式可求最值

解答：解：（1）f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

=2

3

sinx+2cosx=4sin（x+

π

6

）
∴當(dāng)x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值為4
∴f（x）的最大值為4，取最大值時(shí)x的取值集合為{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}．
（2）對(duì)定義域內(nèi)任意x，有f（x）≤f（A），∴f（A）為f（x）為最大值
∴f（A）=4即sin（A+

π

6

）=1
∴0＜A＜π，∴A=

π

3

∴

AB

•

AC

=cbcosA=

1

2

cb
又∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

3

∴3=b²+c²-bc≥bc（當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)）
∴bc≤3
∴

AB

•

AC

的最大值

3

2

，此時(shí)b=c=

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，余弦定理及向量的數(shù)量積的應(yīng)用．