Question

在△ABC中，BC=

2

，AC=1，以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點，C、D兩點在直線AB的兩側）．當∠C變化時，線段CD長的最大值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：在△ABC中，由正弦定理得BDsin∠ABC=sin∠ACB，在△BCD，△ABC中由余弦定理可得CD²=BD²+BC²-2BD•BCcos（90°+∠ABC）=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB+2+2

2

sin∠ACB，可化為5+4sin（∠ACB-45°），由此可求答案．

解答： 解：如右圖：△ABC中，BC=

2

，AC=1，∵AB=BD，
∴在△ABC中，由正弦定理得

AC

sin∠ABC

=

AB

sin∠ACB

=

BD

sin∠ACB

，
∴BDsin∠ABC=sin∠ACB，
在△BCD中，CD²=BD²+BC²-2BD•BCcos（90°+∠ABC）
=AB²+2+2AB•

2

sin∠ABC
=（ AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB）+2+2

2

•ABsin∠ABC
=（1+2-2

2

cos∠ACB）+2+2

2

•BDsin∠ABC
=（1+2-2

2

cos∠ACB）+2+2

2

•sin∠ACB
=5+2

2

•sin∠ACB-2

2

cos∠ACB
=5+4sin（∠ACB-45°），
∴當∠ACB=135°時CD²最大為9，故CD最大值為3，
故選：C．

點評：該題主要考查正弦定理、余弦定理及其應用，考查三角函數的恒等變換，屬中檔題．