Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F、G分別是棱CC₁、BB₁、B₁C₁的中點，H是線段FG上一動點，則下列命題正確的是

 

．（寫出所有正確命題的編號）．
①A₁H與D₁E所在的直線是異面直線；
②A₁H∥平面D₁AE；
③三棱錐H-ABC₁的體積為定值

1

12

；
④BC₁可能垂直于平面A₁HC；
⑤記A₁H與平面BCC₁B₁所成的角為θ，則2≤tanθ≤2

2

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：舉反例說明①錯誤；利用兩平面平行的性質(zhì)說明②正確；由等積法求出三棱錐H-ABC₁的體積說明③正確；舉特例說明④正確；找出A₁H與平面BCC₁B₁所成的角，在直角三角形中利用角的正切值等于對邊除以臨邊求得tanθ的范圍說明⑤正確．

解答： 解：當(dāng)H與F重合時，A₁H∥D₁E，故①錯誤；
由圖易知平面A₁FG∥平面D₁AE，
∴A₁H∥平面D₁AE，故②正確；
∵FG∥BC₁，AB⊥平面HBC₁，VHABC1=VAHBC1，
∴三棱錐H-ABC₁的體積為定值

1

12

，故③正確；
當(dāng)H是FG的中點時，BC₁⊥平面A₁HC，故④正確；
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁H在平面BCC₁B₁內(nèi)的射影為B₁H．
故tanθ=

1

B1H

，
由于H點在線段FG上，則B1H∈[

2

4

，

1

2

]，
∴2≤tanθ≤2

2

．故⑤正確．
∴正確的命題是②③④⑤．
故答案為：②③④⑤

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系，訓(xùn)練了等積法求棱錐的體積，考查了線面角的求法，是中檔題．