Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N^*，滿足關(guān)系S_n=2a_n-2．
（1）證明：{a_n}是等比數(shù)列；
（2）在正數(shù)數(shù)列{c_n}中，設(shè)（c_n）ⁿ⁺¹=

(n+1)

2n+1

a_n+1（n∈N^*），求數(shù)列{lnc_n} 中的最大項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義以及a_n與S_n的關(guān)系即可證明數(shù)列{a_n} 是等比數(shù)列，
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式以及數(shù)列{lnc_n}的公式，利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列數(shù)列{lnc_n}的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2．  ①
∴S_n+1=2a_n+1-2．  ②
②-①，得a_n+1=2a_n+1-2a_n．
∵a_n＞0
∴

an+1

an

=2
故數(shù)列{a_n} 是等比數(shù)列
∴s₁=2a₁-2
∴a₁=2
∴an=2n
（2）（c_n）ⁿ⁺¹=

(n+1)

2n+1

a_n+1=

n+1

2n+1

•2ⁿ⁺¹=n+1
∴cn=

n+1	n+1

，lnc_n=

ln(n+1)

n+1

．
則c₁c₃＞c₄＞???猜想當(dāng)n≥2時(shí)，{c_n}是遞減函數(shù)，
令f（x）=

lnx

x

，則f'（x）=

1-lnx

x2

，
當(dāng)x≥3時(shí)，lnx＞1，此時(shí)f'（x）＜0，
∴當(dāng)x≥3時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
即當(dāng)n≥2時(shí)，{lnc_n}是遞減數(shù)列，
又c₁＜c₂，
∴數(shù)列{lnc_n} 中的最大項(xiàng)為c2=

3	3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，綜合性較強(qiáng)，難度較大，考查學(xué)生的計(jì)算能力．