Question

設(shè)雙曲線C：的虛軸長為2，漸近線方程是y=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且．
（1）求雙曲C的方程；
（2）求點(diǎn)P（k，m）的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）由題意，雙曲線虛軸長為2，漸近線方程是y=，
∴b=，b=a，
∴a=1 （3分）
故雙曲線C的方程為．（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=kx+m與雙曲線聯(lián)立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0
由題意3-k²≠0，且 （4分）
又由⊥知x₁x₂+y₁y₂=0
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
所以+k²×+km×+m²=0
化簡得2m²-3k²=3①
由△＞0可得k²＜m²+3②
由①②可得2m²-3k²=3 （6分）
故點(diǎn)P的軌跡方程是2y²-3x²=3（x≠±） （8分）
分析：（1）根據(jù)雙曲線虛軸長為2，漸近線方程是y=，可得幾何量的值，即可求得雙曲線C的方程；
（2）直線AB：y=kx+m與雙曲線聯(lián)立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0，利用韋達(dá)定理及⊥知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得點(diǎn)P的軌跡方程．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．