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1.已知△ABC的內角A,B,C對的邊分別為a,b,c,sinA+2sinB=2sinC,b=2,則當cosC取得最小值時,a=624

分析 已知等式利用正弦定理化簡,得到關系式,利用余弦定理表示出cosC,把得出關系式整理后代入,利用基本不等式求出cosC的最小值即可..

解答 解:△ABC中,∵sinA+2sinB=2sinC,∴a+2b=2c,
兩邊平方得:(a+2b)2=4c2,即a2+22ab+2b2=4c2,
即a2+b2-c2=3c2-b2-22ab=3•a+2b22-b2-22ab=3a2+2b222ab4
∴cosC=a2+b2c22ab=3a2+2b222ab8ab=38a+14a-24≥23a8b4a-24=624
當且僅當3a8b=4a,即當a=263,b=2時,cosC 取得最小值為624,
故答案為:624

點評 此題考查了正弦、余弦定理,以及基本不等式的運用,熟練掌握定理是解本題的關鍵,屬于中檔題.

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