Question

設(shè)定點(diǎn)M（3，）與拋物線(xiàn)＝2x上的點(diǎn)P的距離為，P到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)l的距為，則＋取最小值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

A．（0，0）

B．（1，）

C．（2，2）

D．（，－）

Answer 1

C

解析試題分析：先判斷出M（3，）在拋物線(xiàn)=2x的外部然后做出圖形（如下圖）則PM=d₁過(guò)p作PN⊥直線(xiàn)x=則PN=d₂，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得d₁+d₂=PM+PF故要使取最小值則只有當(dāng)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)成立因此可求出MF所在的直線(xiàn)方程然后與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
∵（3，）在拋物線(xiàn)=2x上且＞∴M（3，）在拋物線(xiàn)=2x的外部，∵拋物線(xiàn)y²=2x的焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-∴在拋物線(xiàn)=2x上任取點(diǎn)P過(guò)p作PN⊥直線(xiàn)x=則PN=
∴根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得=PF，∴ =PM+PF，∵PM+PFMF，∴當(dāng)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)d₁+d₂取最小值，此時(shí)MF所在的直線(xiàn)方程為y-=（x-3）即4x-3y-2=0，令4x-3y-2=0， =2x，聯(lián)立方程組得到 x-=2,y=2,即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）時(shí),取最小值，故選C
考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察拋物線(xiàn)的性質(zhì)，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是將d₁+d₂=PM+PN根據(jù)拋物線(xiàn)的定義轉(zhuǎn)化為=PM+PF.