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(2012•黔東南州一模)已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦點為F2,F2在C的兩條漸近線上的射影分別為P、Q,O是坐標原點,且四邊形OPF2Q是邊長為2的正方形.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)過F2的直線l交C于A、B兩點,線段AB的中點為M,問|MA|=|MB|=|MO|是否能成立?若成立,求直線l的方程;若不成立,請說明理由.
分析:(Ⅰ)根據C的兩條漸近線相互垂直,且F2到其中一條漸近線的距離為2,建立方程組,求出幾何量,從而可求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)這樣的直線不存在,分類討論.當直線l斜率存在時,設其方程代入雙曲線方程,利用韋達定理及
OA
OB
,可得結論.
解答:解:(Ⅰ)依題意知C的兩條漸近線相互垂直,且F2到其中一條漸近線的距離為2,
b
a
×(-
b
a
)=-1
bc
a2+b2
=2
,∴
a=2
b=2

故雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
4
=1
.                              …(5分)
(Ⅱ)這樣的直線不存在,證明如下:…(7分)
當直線l的斜率不存在時,結論不成立                         …(8分)
當直線l斜率存在時,設其方程為y=k(x-2
2
)
,并設A(x1,y1)、B(x2,y2
由|MA|=|MB|=|MO|知
OA
OB
…(9分)
y=k(x-2
2
)
x2-y2=4
,∴(1-k2)x2+4
2
k2x-8k2-4=0(k2-1≠0)

x1+x2=
4
2
k2
k2-1
x1x2=
8k2+4
k2-1
…(10分)
OA
OB
=(x1,y1)(x2,y2)=(k2+1)x1x2-2
2
k2(x1+x2)+8k2=0
…(11分)
(k2-1)(8k2+4)
k2-1
-
16k4
k2-1
+8k2=0

∴k2=-
1
3
,這不可能
綜上可知,不存在這樣的直線.                                 …(12分)
點評:本題考查雙曲線的標準方程,考查直線與雙曲線的位置關系,聯立方程,正確運用韋達定理是關鍵.
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