Question

15、過原點(diǎn)作曲線y=e^x的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為

（1，e）

，切線的斜率為

e

．

Answer 1

分析：欲求切點(diǎn)的坐標(biāo)，先設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（${x_0}，{e^{x_0}}）$，，再求出在點(diǎn)切點(diǎn)（${x_0}，{e^{x_0}}）$處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=x₀處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用切線過原點(diǎn)即可解決問題．

解答：解：y′=e^x
設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，e^x₀），切線的斜率為k，
則k=e^x₀，故切線方程為y-e^x₀=e^x₀（x-x₀）
又切線過原點(diǎn)，∴-e^x₀=e^x₀（-x₀），∴x₀=1，y₀=e，k=e．
故答案為：（1，e）；e．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．