Question

設(shè)f（x）=log

1

2

（10-3x）．
（1）求使f（x）≥1的x的取值范圍；
（2）若對于區(qū)間[2，3]上的每一個x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知得：log

1

2

（10-3x）≥log

1

2

1

2

，故有0＜10-3x≤

1

2

，由此求得x的取值范圍．
（2）由題意可得（

1

2

）^x+log₂（10-3x）+m＜0，設(shè)g(x)=(

1

2

)x+log2(10-3x)+m，則g（x）＜0在[2，3]上恒成立．根據(jù)g（x）在[2，3]是減函數(shù)，
求得g（x）的最大值，即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得：log

1

2

（10-3x）≥log

1

2

1

2

，∴0＜10-3x≤

1

2

，∴

19

6

≤x＜

10

3

，∴x的取值范圍是[

19

6

，

10

3

）．…（8分）
（2）∵f（x）＞(

1

2

)x+m，∴（

1

2

）^x-log

1

2

（10-3x）+m＜0，∴（

1

2

）^x+log₂（10-3x）+m＜0，
設(shè)g(x)=(

1

2

)x+log2(10-3x)+m，則g（x）＜0在[2，3]上恒成立
∵g(x)=(

1

2

)x+log2(10-3x)+m在[2，3]是減函數(shù)，…（10分）
∴g(x)max=g(2)=

9

4

+m，…（12分）
∴

9

4

+m＜0，∴m＜-

9

4

，即實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-

9

4

）．…（13分）

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．