已知函數(shù)f(x)=ax-
1
x
-lnx
,a∈R,x∈[
1
2
,2]

(1)當(dāng)a=-2時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)+lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同的兩點(diǎn)的連線的斜率,是否存在實(shí)數(shù)a,使得k<1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)當(dāng)a=-2時(shí),求導(dǎo)函數(shù),確定f(x)在區(qū)間[
1
2
,2]
上單調(diào)遞減,從而可求f(x)的最大值;
(2)存在a∈(-∞,
1
6
)
符合條件.
解法一:據(jù)題意存在k=
y1-y2
x1-x2
=
g(x1)-g(x2)
x1-x2
=g(x0)=3ax02-1<1
,分離參數(shù),可得結(jié)論;
解法二:據(jù)題意存在k=
y1-y2
x1-x2
=
y1-y2
x1-x2
=
a(x13-x23)-(x1-x2)
x1-x2
=a(x12+x22+x1x2)-1<1,分離參數(shù),可得結(jié)論.
解答:解:f(x)的定義域?yàn)?span id="hyglthw" class="MathJye">[
1
2
,2],f(x)=a+
1
x2
-
1
x
…(2分)
(1)當(dāng)a=-2時(shí),在x∈[
1
2
,2]
,f(x)=-
(2x-1)(x+1)
x2
≤0
,…(4分)
所以f(x)在區(qū)間[
1
2
,2]
上單調(diào)遞減,…(6分)
f(x)max=f(
1
2
)=ln2-3
.                                …(7分)
(2)存在a∈(-∞,
1
6
)
符合條件.
解法一:據(jù)題意在y=g(x)=[f(x)+lnx]•x2=ax3-x圖象上總可以找到一點(diǎn)P0(x0,y0)使以p為切點(diǎn)的切線平行圖象上的任意兩點(diǎn)的連線,…(9分)
即存在k=
y1-y2
x1-x2
=
g(x1)-g(x2)
x1-x2
=g(x0)=3ax02-1<1
恒成立,…(12分)
因?yàn)?span id="o3uhnzw" class="MathJye">x0∈[
1
2
,2],所以x02∈[
1
4
,4]
,所以a<(
2
3x02
)min
=
1
6
…(14分)
故存在a∈(-∞,
1
6
)
符合條件.                               …(15分)
解法二:g(x)=[f(x)+lnx]•x2=ax3-x,不妨設(shè)任意不同兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)其中x1<x2,則k=
y1-y2
x1-x2
=
y1-y2
x1-x2
=
a(x13-x23)-(x1-x2)
x1-x2
=a(x12+x22+x1x2)-1<1…(10分)
由于k<1恒成立,則k<3ax22-1<1恒成立,知a<
2
3x2
恒成立…(12分)
因?yàn)?span id="e8zy6lb" class="MathJye">x2∈[
1
2
,2],所以x22∈[
1
4
,4]
,故a<(
2
3x2
)min=
1
6
,…(14分)
故存在a∈(-∞,
1
6
)
符合條件.                           …(15分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的最值,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查恒成立問題,考查分離參數(shù)法的運(yùn)用,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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