Question

已知f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0時的表達(dá)式；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（2，2），從而求b，c的值；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，再利用x＞0時，f（x）=-x²+bx+c，求得（-x）=-x²-4x-2，利用f（x）是奇函數(shù)，可得函數(shù)的解析式；
（3）只需-x²+4x-2=ax在（0，+∞）上有解，利用分類參數(shù)法求解．

解答：解：（1）由f（1）=f（3），f（2）=2知，函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（2，2），從而有

b 2 =2 -4c-b2 -4 =2

，∴

b=4 c=-2

；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=-x²-4x-2，∵f（x）是奇函數(shù)，∴-f（x）=-x²-4x-2，∴f（x）=x²+4x+2（x＜0）；
（3）由題意，只需-x²+4x-2=ax在（0，+∞）上有解，∴a=-x-

2

x

+4≤-2

2

+4，即a的取值范圍是(-∞，-2

2

+4]．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求解，考查方程有解問題，考查分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍．