精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

設f(x)是定義在D上的函數，若對D中的任意兩數x1，x2(x1≠x2)，恒有，則稱f(x)為定義在D上的C函數．

(1)試判斷函數f(x)＝x2是否為定義域上的C函數，并說明理由；

(2)若函數f(x)是R上的奇函數，試證明f(x)不是R上的C函數；

(3)設f(x)是定義在D上的函數，若對任何實數a∈(0，1)以及D中的任意兩數x1，x2，恒有f(ax1＋(1－a)x2]≤af(x1)＋(1－a)f(x2)，則稱f(x)為定義在D上的C函數．已知f(x)是R上的C函數，m是給定的正整數，設an＝f(n)，n，0，1，2，…，m，且a0=0，am＝2m，記Sf＝a1＋a2＋…＋am對于滿足條件的任意函數f(x)，試求Sf的最大值．

答案：
解析：

　　解：(1)是C函數，　　2分

　　證明如下：對任意實數()及，有．

　　即∴是C函數．　　4分

　　(2)假設是R上的C函數，取，則有．

　　是奇函數，∴，．

　　∴．

　　(＃)同理，取，可證．與(＃)式矛盾．

　　∴不是R上的C函數．　　9分

　　(3)對任意，取，，．

　　是R上的C函數，，且

　　∴．那么．

　　可證是C函數，且使得都成立，此時．

　　綜上所述，的最大值為．　　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：北京市海淀區(qū)2008－2009學年度高三年級第一學期期中練習數學試卷(理) 題型：044

設f(x)是定義在D上的函數，若對任何實數α∈(0，1)以及D中的任意兩數x1，x2，恒有f(αx1＋(1－α)x2)≤αf(x1)＋(1－α)f(x2)，則稱f(x)為定義在D上的C函數．

(1)試判斷函數f1(x)＝x2，中哪些是各自定義域上的C函數，并說明理由；

(2)已知f(x)是R上的C函數，m是給定的正整數，設an＝f(n)，n＝0，1，2…，m，且a0＝0，am＝2m，記Sf＝a1＋a2＋…＋am．對于滿足條件的任意函數f(x)，試求Sf的最大值；

(3)若f(x)是定義域為R的函數，且最小正周期為T，試證明f(x)不是R上的C函數．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(1+x)=f(1-x),下列說法①f(x+2)=f(x);②f(x+4)=-f(x);③f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0;④f(x+4)=f(x).正確的是（    ）

A.①②③                B.①③                   C.③④               D.②③④

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設f(x)是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R都有f(2-x)=f(x)成立.當x∈［0,2］時，f(x)=1-|x-1|,則方程f(x)=lgx的根有（    ）

A.5個            B.1個              C.9個              D.7個

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省高三上學期期末考試文科數學 題型：選擇題

設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(2)=0,當x>0時，有恒成立，則不等式 的解集是

A.(-2,0) ∪(2,+∞)   B.(-2,0) ∪(0,2)  C.(-∞,-2)∪(2,+∞)    D.(-∞,-2)∪(0,2)

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案