【答案】
分析:(法一)
(1)由題意可知,題圖2中SA⊥AB①,易證BC⊥SA②,由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD;
(2)(三垂線法)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/0.png)
考慮在AD上取一點(diǎn)O,使得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/1.png)
,從而可得EO∥SA,所以EO⊥平面ABCD,過O作OH⊥AC交AC于H,連接EH,∠EHO為二面角E-AC-D的平面角,在Rt△AHO中求解即可
(3)取BC中點(diǎn)F,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/2.png)
,又由題意
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/3.png)
從而可得SF∥EM,所以有SF∥平面EAC
(法二:空間向量法)
(1)同法一
(2)以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,易知平面ACD的法向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/4.png">,求平面EAC的法向量,代入公式求解即可
(3)由SF∥平面EAC,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/5.png)
,利用向量數(shù)量的坐標(biāo)表示,可求
解答:解法一:(1)證明:在題圖1中,由題意可知,BA⊥PD,ABCD為正方形,
所以在題圖2中,SA⊥AB,SA=2,
四邊形ABCD是邊長為2的正方形,
因?yàn)镾B⊥BC,AB⊥BC,
所以BC⊥平面SAB,(2分)
又SA?平面SAB,
所以BC⊥SA,
又SA⊥AB,
所以SA⊥平面ABCD,(4分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/images6.png)
(2)在AD上取一點(diǎn)O,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/6.png)
,連接EO.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/7.png">,所以EO∥SA
所以EO⊥平面ABCD,
過O作OH⊥AC交AC于H,連接EH,
則AC⊥平面EOH,
所以AC⊥EH.
所以∠EHO為二面角E-AC-D的平面角,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/8.png)
.
在Rt△AHO中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/9.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/10.png)
,
即二面角E-AC-D的正切值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/11.png)
.(9分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/images13.png)
(3)當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí),SF∥平面EAC,
理由如下:取BC的中點(diǎn)F,連接DF交AC于M,
連接EM,AD∥FC,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/12.png)
,又由題意
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/13.png)
SF∥EM,
所以SF∥平面EAC,即當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí),
SF∥平面EAC(12分)
解法二:(1)同方法一(4分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/images16.png)
(2)如圖,以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/14.png)
)
易知平面ACD的法向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/15.png">
設(shè)平面EAC的法向量為n=(x,y,z)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/16.png)
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/17.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/18.png)
,可取
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所以n=(2,-2,1).(7分)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/20.png)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/21.png)
即二面角E-AC-D的正切值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/22.png)
.(9分)
(3)設(shè)存在F∈BC,
所以SF∥平面EAC,
設(shè)F(2,a,0)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/23.png)
,由SF∥平面EAC,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180814024847730/SYS201310241808140248477017_DA/24.png)
,所以4-2a-2=0,
即a=1,即F(2,1,0)為BC的中點(diǎn)(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系:直線與平面平行及直線與平面平行的判定定理的運(yùn)用,空角角中的二面角的平面角的作法及求解,利用向量的方法求解空間距離及空間角 的方法.