Question

已知α，β∈（-

π

2

，

π

2

），且tanα，tanβ是方程x²+3

3

x+4=0的兩個(gè)根，則α+β=

 

．

Answer 1

分析：由tanα，tanβ是方程x²+3

3

x+4=0的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出所求角度的正切值，利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出tan（α+β）的值，然后根據(jù)兩根之和小于0，兩根之積大于0，得到兩根都為負(fù)數(shù)，根據(jù)α與β的范圍，求出α+β的范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．

解答：解：依題意得tanα+tanβ=-3

3

＜0，tanα•tanβ=4＞0，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-3 3

1-4

=

3

．
易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（-

π

2

，

π

2

），
∴α∈（-

π

2

，0），β∈（-

π

2

，0），
∴α+β∈（-π，0），
∴α+β=-

2π

3

．
故答案為：-

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩角和的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．本題的關(guān)鍵是找出α+β的范圍．