Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x．
（1）用函數(shù)的單調(diào)性定義在證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2x，設(shè)x₂＞x₁≥1，f（x₂）-f（x₁）=（-2x₂）-（-2x₁）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）-2（x₂-x₁）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-2），
而由題設(shè)可知x₂-x₁＞0，x₂+x₁-2＞0，
∴（x₂-x₁）（x₂+x₁-2）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由于二次函數(shù)函數(shù)f（x）=x²-2x 的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∴在[-1，5]上，
當(dāng)x=5時(shí)，f（x）_max=f（5）=15；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=-1．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-2x，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由于二次函數(shù)函數(shù)f（x）=x²-2x 的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，故在[-1，5]上，f（x）_max=f（5），f（x）_min=f（1），運(yùn)算求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義及證明方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于基礎(chǔ)題．