Question

已知函數f（x）=x²-2x．
（1）用函數的單調性定義在證明f（x）在[1，+∞）上是增函數；
（2）求函數f（x）在[-1，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）=x²-2x，設x₂＞x₁≥1，f（x₂）-f（x₁）=（-2x₂）-（-2x₁）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）-2（x₂-x₁）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-2），
而由題設可知x₂-x₁＞0，x₂+x₁-2＞0，
∴（x₂-x₁）（x₂+x₁-2）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．
（2）由于二次函數函數f（x）=x²-2x 的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=1，
∴在[-1，5]上，
當x=5時，f（x）_max=f（5）=15；
當x=1時，f（x）_min=f（1）=-1．
分析：（1）根據函數f（x）=x²-2x，利用函數的單調性的定義證明f（x）在[1，+∞）上是增函數．
（2）由于二次函數函數f（x）=x²-2x 的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=1，故在[-1，5]上，f（x）_max=f（5），f（x）_min=f（1），運算求得結果．
點評：本題主要考查函數的單調性的定義及證明方法，二次函數的性質，求二次函數在閉區(qū)間上的最值，屬于基礎題．