【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ a(x﹣1)(a∈R).
(1)若a=﹣2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若不等式f(x)<0對任意x∈(1,+∞)恒成立. (。┣髮(shí)數(shù)a的取值范圍;
(ⅱ)試比較ea﹣2與ae﹣2的大小,并給出證明(e為自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828).
【答案】
(1)解:因?yàn)閍=﹣2時,f(x)=inx+x﹣1, .
所以切點(diǎn)為(1,0),k=f′(1)=2.
所以a=﹣2時,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x﹣2.
(2)解:( i)由f(x)=lnx﹣ a(x﹣1),
所以 ,
①當(dāng)a≤0時,x∈(1,+∞),f′(x)>0,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)>f(1)=0,
∴a≤0不合題意.
②當(dāng)a≥2即 時, 在(1,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,有f(x)<f(1)=0,
∴a≥2滿足題意.
③若0<a<2即 時,由f′(x)>0,可得 ,由f′(x)<0,可得x ,
∴f(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,
∴ ,
∴0<a<2不合題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).
( ii)a≥2時,“比較ea﹣2與ae﹣2的大小”等價(jià)于“比較a﹣2與(e﹣2lna)的大小”
設(shè)g(x)=x﹣2﹣(e﹣2)lnx,(x≥2).
則 .
∴g(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)間(e)=0.
當(dāng)x∈[2,e)時,g(x)<0,即x﹣2<(e﹣2)lnx,所以ex﹣2<xe﹣2.
當(dāng)x∈(e,+∞)時g(x)>0,即x﹣2>(e﹣2)lnx,∴ex﹣2>xe﹣2.
綜上所述,當(dāng)a∈[2,e)時,ea﹣2<ae﹣2;
當(dāng)a=e時,ea﹣2=ae﹣2;
當(dāng)a∈(e,+∞)時,ea﹣2>ae﹣2
【解析】(1)一求切點(diǎn),二求切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即切線的斜率;(2)只需求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最大值即可,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,進(jìn)一步求其最值構(gòu)造不等式求解;比較大小可將兩個值看成函數(shù)值,然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中學(xué)生綜合素質(zhì)評價(jià)某個維度的測評中,分優(yōu)秀、合格、尚待改進(jìn)三個等級進(jìn)行學(xué)生互評.某校高一年級有男生500人,女生400人,為了了解性別對該維度測評結(jié)果的影響,采用分層抽樣方法從高一年級抽取了45名學(xué)生的測評結(jié)果,并作出頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表如下:
表一:男生
表二:女生
(1)從表二的非優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)抽取2人交談,求所選2人中恰有1人測評等級為合格的概率;
(2)由表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“測評結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(),焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,過點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限).
(Ⅰ)若點(diǎn)焦點(diǎn)重合,且弦長,求直線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,直線交x軸于點(diǎn),且,求證:點(diǎn)B的坐標(biāo)是,并求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)剛搬遷到新校區(qū),學(xué)?紤],若非住校生上學(xué)路上單程所需時間人均超過20分鐘,則學(xué)校推遲5分鐘上課.為此,校方隨機(jī)抽取100個非住校生,調(diào)查其上學(xué)路上單程所需時間(單位:分鐘),根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如下頻率分布直方圖,其中時間分組為[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50].
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度說明學(xué)校是否需要推遲5分鐘上課;
(3)若從樣本單程時間不小于30分鐘的學(xué)生中,隨機(jī)抽取2人,求恰有一個學(xué)生的單程時間落在[40,50]上的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),且的導(dǎo)數(shù)為.
(Ⅰ)若是定義域內(nèi)的增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若方程有3個不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩個袋子,其中甲袋中裝有編號分別為1、2、3、4的4個完全相同的球,乙袋中裝有編號分別為2、4、6的3個完全相同的球.
(Ⅰ)從甲、乙袋子中各取一個球,求兩球編號之和小于8的概率;
(Ⅱ)從甲袋中取2個球,從乙袋中取一個球,求所取出的3個球中含有編號為2的球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大學(xué)生趙敏利用寒假參加社會實(shí)踐,對機(jī)械銷售公司7月份至12月份銷售某種機(jī)械配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查,銷售單價(jià)和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
銷售單價(jià)(元) | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
銷售量(件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
(1)根據(jù)7至11月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸直線方程;
(2)若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元,則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的,試問(1)中所得到的回歸直線方程是否理想?
(3)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷售量與銷售單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,若該種機(jī)器配件的成本是2.5元/件,那么該配件的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元才能獲得最大利潤?(注:利潤=銷售收入-成本).
參考公式:回歸直線方程,其中,參考數(shù)據(jù): .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若鈍角三角形的三邊長和面積都是整數(shù),則稱這樣的三角形為“鈍角整數(shù)三角形”,下列選項(xiàng)中能構(gòu)成一個“鈍角整數(shù)三角形”三邊長的是( )
A.2,3,4
B.2,4,5
C.5,5,6
D.4,13,15
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖,估計(jì)這次測試中數(shù)學(xué)成績的平均分、眾數(shù)、中位數(shù)分別是( )
A.73.3,75,72
B.72,75,73.3
C.75,72,73.3
D.75,73.3,72
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