Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+2，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用待定系數(shù)法和題意，構(gòu)造等比數(shù)列{a_n+1}，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）根據(jù)分組求和法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)a_n+1+k=3（a_n+k）（k是常數(shù)），則a_n+1=3a_n+2k，
因?yàn)閍_n+1=3a_n+2，所以2k=2，解得k=1，
則a_n+1+1=3（a_n+1），即

an+1+1

an+1

=3，
又a₁=2，則a₁+1=3，
所以數(shù)列{a_n+1}是以3為首項(xiàng)、公比的等比數(shù)列，
則a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，所以a_n=3ⁿ-1；
（2）由（1）得，
數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n
=

3(1-3n)

1-3

-n=

3n+1-2n-3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，以及分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，這是常考的題型．