Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且滿(mǎn)足條件sinAcosC=cos（120°-C）sinC，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：由三角形ABC中A，B，C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用三角形內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，以及A+C的度數(shù)，用B表示出C，代入已知的等式中，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式求出sin（A-C）=0，由A和C都為三角形的內(nèi)角，得出A-C的范圍，可得出A-C=0，即A=C，進(jìn)而確定出此三角形三內(nèi)角相等，為等邊三角形．

解答： 解：△ABC為等邊三角形，理由為：
證明：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
∴A+C=2B，又A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°，
∴sinAcosC=cos（120°-C）sinC變形為sinAcosC=cosAsinC，即sin（A-C）=0，
∵-π＜A-C＜π，∴A=C，
∴A=B=C=60°，
則△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有：等差數(shù)列的性質(zhì)，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等邊三角形的判定，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．