Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的最小值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上無零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：(1) 求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，令是所求區(qū)間的子集即可得結果；（2）“函數(shù)在區(qū)間上無零點”等價于“函數(shù)與的圖象在上沒有公共點”，討論三種情況，分別畫出函數(shù)的圖象，結合直線過定點，即可求得實數(shù)的取值范圍.

詳解：(1) 函數(shù)的定義域為，

討論：

當時，，

此時函數(shù)在上單調遞增，滿足題設；

當時，令，得；令，得,

所以此時函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

又函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，解得，

綜上，實數(shù)的最小值是.

（2）由，得

設，則“函數(shù)在區(qū)間上無零點”等價于“函數(shù)與的圖象在上沒有公共點”

討論：

當時，在上是單調遞增函數(shù)，函數(shù)在上也是單調遞增函數(shù)，

作出函數(shù)與函數(shù)滿足題意的草圖（草圖可能有兩種情況）如下：

圖1 圖2

（i）如圖1，，即，解得；

（ii）如圖2，對任意恒成立

又當時，，所以，解得

又，得

綜上，或；

當時，符合題意；

當時，在上是單調遞減函數(shù)，在上是單調遞增函數(shù)，

作出函數(shù)與函數(shù)滿足題意的草圖如下：

觀察圖象可知符合題意.

綜上，所求實數(shù)的取值范圍是.