Question

【題目】如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若，求二面角的大�。�

（3）若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)，連結(jié)，，通過(guò)證明為平行四邊形得，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明平行；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法分別求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角即可得到二面角的大��；

（3）根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，得恒有解即可求出的范圍.

解：（1）法一：設(shè)，連結(jié)，，

因?yàn)榫匦?/span>中是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，

所以，，所以為平行四邊形，

故，

又平面，平面，

所以平面；

法二：由題意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，

因?yàn)槠矫?/span>平面，

，所以平面，

以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，，是線段的中點(diǎn)，

則，，，，，，

從而，，，，

設(shè)平面的法向量為，則由，可知，

不妨令，則，，從而平面的一個(gè)法向量為，

計(jì)算可知，又平面，

所以，從而平面.

（2）若，則，，

平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的法向量為，則由，可知，

不妨令，則，，

從而平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，

因?yàn)?/span>為銳角，所以，

所以二面角的大小為.

（3）因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，而，

設(shè)，其中，

則，從而點(diǎn)坐標(biāo)為，

于是，而，

則由可知，即，

所以，解得，故的最大值為.