Question

已知函數(shù)f（x）與g（x）均是定義域為R的增函數(shù)，求證：利用單調(diào)性的定義域證明f（x）+g（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，并設(shè)F（x）=f（x）+g（x），由函數(shù)f（x）與g（x）均是定義域為R的增函便可得到f（x₁）+g（x₁）＜f（x₂）+g（x₂），所以F（x₁）＜F（x₂），這便證出了（x）+g（x）在R上為增函數(shù)．

解答： 證明：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，并設(shè)F（x）=f（x）+g（x）；
∵f（x），g（x）在R上是增函數(shù)；
∴f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＜g（x₂）；
∴f（x₁）+g（x₁）＜f（x₂）+g（x₂）；
即F（x₁）＜F（x₂）；
∴F（x）為R上的增函數(shù)；
即f（x）+g（x）在R上為增函數(shù)．

點評：考查增函數(shù)的定義，以及利用增函數(shù)的定義證明函數(shù)為增函數(shù)．