Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)

（1）求k的值；

（2）若函數(shù)的圖象與直線沒有交點，求b的取值范圍；

（3）設(shè)，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍

 

Answer 1

（1）；（2） ；(3)

【解析】

試題分析：（1）因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以根據(jù)偶函數(shù)的定義，得到一個關(guān)于x,k的等式.由于對于任意的x都成立，相當(dāng)于恒過定點的問題，所以求得k的值.

（2）因為函數(shù)的圖象與直線沒有交點，所以對應(yīng)的方程沒有解，利用分離變量的思維可得到一個等式，該方程無解.所以等價兩個函數(shù)與沒有交點，所以求出函數(shù)的最值.即可得到b的取值范圍.

(3)因為，若函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點，所以等價于方程有且只有一個實數(shù)根.通過換元將原方程化為含參的二次方程的形式，即等價于該二次方程僅有一個大于零的實根，通過討論即可得到結(jié)論.

試題解析：（1）因為為偶函數(shù)，所以，

即對于任意恒成立.

于是恒成立,

而不恒為零，所以. 4分

（2）由題意知方程即方程無解.

令，則函數(shù)的圖象與直線無交點.

因為，由，則，

所以的取值范圍是 . 8分

（3）由題意知方程有且只有一個實數(shù)根．

令，則關(guān)于的方程 (記為(*))有且只有一個正根.

若，則，不合題意, 舍去；

若，則方程(*)的兩根異號或有兩相等正根.

由或；但，不合題意，舍去；而；

若方程(*)的兩根異號

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是． 12分

考點：1.函數(shù)的奇偶性.2.函數(shù)的與方程的思想的轉(zhuǎn)化.3.換元法的應(yīng)用.4.含參數(shù)的方程的根的討論.