某人定制了一批地磚.每塊地磚(如圖1)所示是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形ABCD,點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上,△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成,制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格之比依次為3∶2∶1.若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè),能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH.
(1)求證:四邊形EFGH是正方形.
(2)E、F在什么位置時(shí),定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最��?
解:(1)圖(2)可以看成是由四塊圖(1)所示的地磚繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到,則有CE=CF,∠ECF=90°, ∴△CFE為等腰直角三角形. 同理,可得△CFG,△CGH,△CEH為等腰直角三角形. ∴四邊形EFGH是正方形. (2)設(shè)CE=x,則BE=0.4-x,每塊地磚的費(fèi)用為W,設(shè)制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價(jià)格依次為3a、2a、a(元), W= �。絘(x2-0.2x+0.24) �。絘[(x-0.1)2+0.23](0<x<0.4). 由于a>0,則當(dāng)x=0.1時(shí),W有最小值,即總費(fèi)用為最省, 即當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí),總費(fèi)用最�。� |
(1)由于四塊地磚拼出了四邊形EFGH,只需證明△CFE,△CFG,△CGH,△CEH為等腰直角三角形即可;(2)建立數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.設(shè)CE=x,每塊地磚的費(fèi)用為W,求出函數(shù)W=f(x)的解析式,轉(zhuǎn)化為討論求函數(shù)的最小值問(wèn)題. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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(1)求證:四邊形EFGH是正方形.
(2)E、F在什么位置時(shí),定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最��?
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某人定制了一批地磚. 每塊地磚 (如圖1所示)是邊長(zhǎng)為米的正方形
,點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上, △
、△
和四邊形
均由單一材料制成,制成△
、△
和四邊形
的三種材料的每平方米價(jià)格之比依次為3:2:1. 若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè),能使中間的深色陰影部分成四邊形
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(1) 求證:四邊形是正方形;
(2) 在什么位置時(shí),定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最��?
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