Question

已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線(xiàn)與一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)A，△OAF的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線(xiàn)的夾角為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)A點(diǎn)是斜率為正的漸近線(xiàn)與右準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求得漸近線(xiàn)方程和右準(zhǔn)線(xiàn)方程，進(jìn)而把這兩個(gè)方程聯(lián)立求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，△OAF的面積以O(shè)F為底邊計(jì)算的話(huà)，其上的高就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即：，進(jìn)而表示出△OAF的面積建立等式求得a=b，進(jìn)而可知雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率，可知其垂直，進(jìn)而可推出答案．
解答：解：設(shè)A點(diǎn)是斜率為正的漸近線(xiàn)與右準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)
雙曲線(xiàn)斜率為正的漸近線(xiàn)方程為：y=x
而右準(zhǔn)線(xiàn)為：x=
于是，漸近線(xiàn)與右準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)A，其橫坐標(biāo)就是，縱坐標(biāo)可求出是：
y=
△OAF的面積若是以O(shè)F為底邊計(jì)算的話(huà)，其上的高就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即：
∴S△OAF=|OF|••==
由題意有：=
∴a=b
∴雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)就是：y=±x
∴兩條漸近線(xiàn)相互垂直
∴它們的夾角很容易得出是90°
故答案為90°
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．從近三年高考情況看，圓錐曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)仍是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，平時(shí)應(yīng)注意多積累．